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By Tatar N.

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In diesem Fall muss aber ur alle k ≥ 1 yn = xnn gelten. Dies steht im Widerspruch zu yk = xkk f¨ und somit zur Annahme der Abz¨ ahlbarkeit von (0, 1). Die Annahme ist also falsch und der Satz damit bewiesen. Etwas weniger formal kann man also sagen, dass es viel mehr reelle als rationale Zahlen gibt. Auf den ersten Blick √ mag dies verwundern, ullt haben. Es da wir doch anschaulich nur die L¨ ucken wie 2 aufgef¨ sind eben sehr viele L¨ ucken. Schließlich halten wir noch fest, dass die Unendlichkeiten keine Grenzen kennen.

2 Umkehrbarkeit von Funktionen Oftmals treten Situationen auf, in denen man eine Gleichung der Form f (x) = y nach x auﬂ¨osen m¨ ochte. Zum Beispiel ist der Preis (y), den man am Monats- oder Jahresende f¨ ur Strom bezahlt, eine Funktion der verbrauchten Menge (x). Umgekehrt kann man sich bei Erhalt der Rechnung, also in Kenntnis des Preises (y), fragen, wie hoch der Verbrauch gewesen ist, der zu der Rechnung gef¨ uhrt hat. Man m¨ochte also eine Gleichung der Form x = g(y) 42 4 Funktionen erhalten.

1 Grundbegriﬀe 37 d) Ganz wichtig sind auch die Polynome n-ten Grades (n ∈ N) der Form f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . + a1 x + a0 mit Konstanten a0 , . . , an ∈ R. Eine weitere wichtige Funktion ist die Betragsfunktion. 2 (Absolutbetrag). | : R → R, f¨ ur die gilt x→ x −x f¨ ur x ≥ 0 f¨ ur x < 0. Aus der Deﬁnition der Betragsfunktion und den Ordnungseigenschaften der reellen Zahllen ergibt sich folgender Satz. 2 (Eigenschaften des Betrags). 5) Beweis. Der Beweis ist nicht schwer, aber eher abstrakt.