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By Forster

ISBN-10: 3834803952

ISBN-13: 9783834803955

Dieses seit über 30 Jahren bewährte Standardwerk ist gedacht als Begleittext zur Analysis-Vorlesung des ersten Semesters für Mathematiker, Physiker und Informatiker. Bei der Darstellung wurde besonderer Wert darauf gelegt, in systematischer Weise, aber ohne zu große Abstraktionen zu den wesentlichen Inhalten vorzudringen und sie mit vielen konkreten Beispielen zu illustrieren. An verschiedenen Stellen wurden Bezüge zur Informatik hergestellt. Einige numerische Beispiele wurden durch Programm-Codes ergänzt, so dass die Rechnungen direkt am laptop nachvollzogen werden können. Die vorliegende nine. Auflage wurde an mehreren Stellen weiter überarbeitet und es wurden einige neue Abbildungen und Übungsaufgaben ergänzt.

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Folgerungen aus den Axiomen In den folgenden Aussagen sind x, y, z, a, b stets Elemente von R. 1) F¨ur zwei Elemente x, y gilt genau eine der Relationen x < y, x = y, y < x. 1). Damit kann man das Maximum und Minimum zweier reeller Zahlen definieren: x, falls x max(x, y) := y, y sonst, x, falls x min(x, y) := y, y sonst. 2) Transitivit¨at der Kleiner-Relation x < y und y < z =⇒ x 0 und z − y > 0. h. x < z. 3) Translations-Invarianz x

0 . b1 b2 b3 b4 . . , die gegen dieselbe Zahl x ∈ R konvergieren. Man zeige: Entweder gilt an = bn f¨ur alle n 1 oder es existiert eine nat¨urliche Zahl k 1, so dass (nach evtl. Vertauschung der Rollen von a und b) gilt: ⎧ ⎪ ai = bi f¨ur alle i < k , ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ a = b + 1, k k ⎪ f¨ur alle n > k , ⎪ an = 0 ⎪ ⎪ ⎩ bn = g − 1 f¨ur alle n > k . 4. Man bestimme die 64-Bit-IEEE-Darstellung der Zahlen zn := 10n f¨ur n = 2, 1, 0, −1, −2. 5. Es sei Q64 ⊂ R die Menge aller durch den 64-Bit-IEEE-Standard exakt dargestellten reellen Zahlen (diese sind nat¨urlich alle rational) und R64 das Intervall R64 := {x ∈ R : |x| < 21024 }.

Man beachte, dass die Zahl N von ε abh¨angt. Im Allgemeinen wird man N umso gr¨oßer w¨ahlen m¨ussen, je kleiner ε ist. Konvergiert (an ) gegen a, so nennt man a den Grenzwert oder den Limes der Folge und schreibt lim an = a oder kurz n→∞ lim an = a . Auch die Schreibweise an −→ a f¨ur n → ∞ (gelesen: an strebt gegen a f¨ur n gegen unendlich) ist gebr¨auchlich. Eine Folge, die gegen 0 konvergiert, nennt man Nullfolge. Geometrische Deutung der Konvergenz. F¨ur ε > 0 versteht man unter der ε-Umgebung von a ∈ R die Menge aller Punkte der Zahlengeraden, die von a einen Abstand kleiner als ε haben.

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Analysis by Forster


by Jason
4.0

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