Assoziative Algebren by Hartmut Laue PDF

By Hartmut Laue

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Vol. sixteen, No. 6 (Dec. , 1965), pp. 1230-1236
Published by means of: American Mathematical Society
DOI: 10. 2307/2035904
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Wir zeigen (i) ⇒ (ii) und (ii) ⇒ (iii): Es gelte (i). Wir wollen R ⊆ N (A) zeigen und nehmen dazu an: R ⊆ N (A), d. h. N (A) ⊂ N (A) + R. Da A rechtsartinsch ist, gibt es unter den Rechtsidealen Q von A mit N (A) ⊂ Q ⊆ N (A) + R ein minimales. 3 folglich linksunit¨ares Rechtsideal von A/N (A). 7 ein Idempotent = 0A enthalten, im Widerspruch zu (i). Es muß also gelten: Q2 ⊆ N (A). 3(2) in einem Zero-Ideal von A/N (A), d. h. es gibt ein Ideal I von A mit Q ⊆ I, so daß I/N (A) eine Zero-Algebra ist.

Unit¨ar ist. Es wird sich n¨amlich herausstellen, daß A dann stets eine endliche Kompositionsreihe besitzt. 14 angegebene Grobstruktur“ aufweisen: Eine assoziative Algebra A wird semiprim¨ar ” genannt, wenn N (A) nilpotent, A/N (A) als A-Modul vollreduzibel und A unit¨ar ist. 15 Satz (Hopkins-Levitzki 1939) Sei A eine semiprim¨are assoziative Algebra, V ein unitaler A-Algebren-Modul. Es sind ¨aquivalent: (i) V ist noethersch, (ii) V ist artinsch, (iii) V besitzt eine endliche Kompositionsreihe.

Ek } = {0A }. ,ij )∈k i1 >···>ij ei − j (−1)j−1 ei1 · · · eij ei1 ei2 + i1 >i2 >i3 i1 >i2 ei1 ei2 ei3 − + · · · + (−1)k−1 ek ek−1 · · · e1 . F¨ ur alle j ∈ k gilt dann, da (e1 , . . , ek ) aufsteigend orthogonal ist, eej = i≥j ei ej − = (ej + i>j i1 >i2 ≥j ei ej ) − ( ei1 ei2 ej + − · · · + (−1)k−j ek ek−1 · · · ej ei1 ej + i1 >j i1 >i2 >j ei1 ei2 ej ) + − · · · + (−1)k−j ek ek−1 · · · ej = ej . Also ist e eine Linkseins von A. Folgerung F¨ ur eine rechtsartinsche assoziative Algebra A sind ¨aquivalent: (i) Jeder direkte Rechtsidealsummand = {0A } von A enth¨alt ein Idempotent = 0A , (ii) A ist linksunit¨ar.

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by Jason
4.0

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