Read e-book online Die Fourier-Transformation in der Signalverarbeitung: PDF

By Dietmar Achilles

ISBN-10: 3540083626

ISBN-13: 9783540083627

ISBN-10: 3662114925

ISBN-13: 9783662114926

1. 1 EinfUhrendes Beispiel Aus den zahlreichen Anwendungen der Fourier-Transformation in der Signalverar beitung sei zur Einfilhrung ein Beispiel ausgew8. hlt, das einerseits besonders deut lich die tragende Rolle der Fourier-Transformation zeigt und andererseits eine Schilderung der Zusammenhange unmittelbar aus der Anschauung heraus gestattet: die Bestimrriung der Oberflachenstrukturen von Planeten durch Zeit-Frequenz-Ana lyse von Radarimpulsen. Zunachst einige Vorbemerkungen zur Radar-Astronomie [1. 1-1. 3J allgemein: Sie dient der Erforschung unseres Sonnensystems. Nachbarplaneten, Sonne, Mond und andere Himmelskorper sind dabei Zielobjekte von Radarimpulsen, die liber die Pa rabolantennen von Radioteleskopen abgestrahlt werden. Ein sehr kleiner Teil der vom jeweiligen Objekt reflektierten bzw. gestreuten Impulsenergie gelangt wieder zum Radioteleskop zurlick, wird aus den liberlagerten Rauschsignalen herausgef- tert und hinsichtlich der gewlinschten details ausgewertet. Der relativ kompli zierte SignalverarbeitungsprozeB wird in der Regel mit Hilfe einer Digitalrechenan lage, die direkt mit dem Radarsystem verbunden ist, in Echtzeit ausgefUhrt. sign auswertungen dieser artwork liefern beispielsweise Messungen der Planetenpositionen und -bahngeschwindigkeiten, die urn GroBenordnungen genauer sind als bei entspre chenden optischen Beobachtungsmethoden. Darliber hinaus erhalten wir Informationen liber die Rotation und die Oberflachenstruktur von Planeten, auch und insbesondere dann, wenn sie wie die Venus von einer undurchsichtigen Atmosphare umgeben sind. Urn einen Einblick in die Zusammenhange zu gewinnen, gehen wir von einer verein fachenden Modellvorstellung aus. Der Sendeimpuls sei ein tragerfrequenter Recht eckimpuls der shape fUr 0';;; t .;;; e (1. 1-1) sonst."

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3-24) k=- = Mit dieser Beziehung lassen sich die Operationen Periodisierung und Diskretisierung (Abtastung ) auf sehr einfache Weise vom Zeitbereich auf den Frequenzbereich und umgekehrt abbilden. 4 zurückkommen werden. Wir gehen nun auf die s p e k t ra I e Lei s tun g s d ich t e von periodischen Signalen und ihre Verknüpfung mit der Au t 0 kor r el at ion s fu n k t i on ein. 3-1) definiert. Bei periodischen Signalen kann man den zeit lichen Mittelwert durch Mittelung über eine Periode bestimm en.

1-32) auch für Distributionen, allerdings mit der Einschränkung, daß keine Multiplikation zwischen zwei Distributionen auftreten darf, denn diese ist nicht allgemein definiert. 2-23) Entsprechendes gilt für die Faltung im Frequenzbereich. Die Faltung zwischen einer Distribution und einer Funktion wird auf die gleiche Weise erklärt . 2-24) Wenn ul t ) k-mal differenzierbar ist, können wir die Derivation der 6-Distribution beliebig auf uf t ) abwälzen. 2-26) Die Distribution 6(t) spielt also die Rolle des Einheitselementes in der Faltung.

3-50) gleich Null setzen : cc nx{O) 2 =x = I -= ~x{f)df. 3 Signale endlicher Leistung Oben wurde die Autokorrelationsfunktion als zeitlicher Mittelwert erklärt. Bei stochastischen Vorgängen haben wir andererseits die Möglichkeit, über den Prozeß zu mitteln. Wir können die Autokorrelationsfunktion daher auch als Erwartungswert E[x definieren, wobei die Variablen x = x(t und x = x(t alle möglichen 1 2 1) 2) 1x2] Signal werte des Ensembles zu den Zeitpunkten t und t = t + ,. repräsentieren. 3-52) x1x2P(x1,x2)dx1dx2 gegeben, worin P(x die Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunk1,x2) ti 0 n der beiden Variablen x und x sein soll.

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by Daniel
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