Differentialgeometrie: Kurven - Flaechen - - download pdf or read online

By Wolfgang Kühnel

ISBN-10: 3834804118

ISBN-13: 9783834804112

Dieses Buch ist eine Einführung in die Differentialgeometrie. Zunächst geht es um die klassischen Aspekte wie die Geometrie von Kurven und Flächen, bevor dann höherdimensionale Flächen sowie abstrakte Mannigfaltigkeiten betrachtet werden. Die Nahtstelle ist dabei das zentrale Kapitel "Die innere Geometrie von Flächen". Dieses führt den Leser bis hin zu dem berühmten Satz von Gauß-Bonnet, der ein entscheidendes Bindeglied zwischen lokaler und globaler Geometrie darstellt. Die zweite Hälfte des Buches ist der Riemannschen Geometrie gewidmet. Den Abschluss bildet ein Kapitel über "Einstein-Räume", die eine große Bedeutung sowohl in der "Reinen Mathematik" als auch in der Allgemeinen Relativitätstheorie von A. Einstein haben. Es wird großer Wert auf Anschaulichkeit gelegt, was once durch zahlreiche Abbildungen unterstützt wird. Im Laufe der Neuauflagen wurde der textual content erweitert, neue Aufgaben wurden hinzugefügt und am Ende des Buches wurden zusätzliche Hinweise zur Lösung der Übungsaufgaben ergänzt. Der textual content wurde für die fünfte Auflage gründlich durchgesehen und an einigen Stellen verbessert.

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3: Tangentiales Vektorfeld an einen Zylinder auch als festen Drehsinn in jeder Tangentialebene auffassen, der sich lokal (und auch bei Kartenwechsel) nicht ¨andert, und im orientierbaren Fall hat man das Oberfl¨achenelement √ dA := g du1 ∧ du2 als global definierte Differentialform (2-Form), vgl. Forster, Analysis 3, §20. h. f¨ ur ein einzelnes parametrisiertes Fl¨ achenst¨ uck, existiert trivialerweise stets eine Orientierung durch Wahl einer Reihenfolge der Koordinaten. F¨ ur ein Fl¨achenst¨ uck f : U → IR3 kann somit die Wahl einer Orientierung auch ausgedr¨ uckt werden durch die Wahl einer Reihenfolge von ∂f ∂f , ∂u1 ∂u2 als begleitendes (nicht-orthonormales) 2-Bein von Tangentialvektoren.

Beispiele: 1. Auf dem Kreiszylinder f (ϕ, x) = (cos ϕ, sin ϕ, x) ist das Vektorfeld X(ϕ, x) := (− sin ϕ, cos ϕ, x0 ) mit konstantem x0 ein tangentiales Vektorfeld, gleichzeitig Tangentenvektor an die Familie von Schraubenlinien t → (cos t, sin t, x0 t + c) mit Parameter c (s. 3). 2. Bei variablem Punkt definiert der Einheitsvektor ν=± ∂f ∂f × ∂u1 ∂u2 ∂f ∂f × ∂u1 ∂u2 ein normales Vektorfeld. Diese Einheitsnormale ν kann man auch auffassen als Abbildung ν: U → S 2 ⊂ IR3 . Dabei wird der Vektor einfach an den Nullpunkt angeh¨ angt.

Also gilt dist(A, P ) > d(A, P ) oder dist(P, B) > d(P, B) (denn Gleichheit in beiden F¨ allen gleichzeitig w¨ urde bedeuten, daß ogen besteht mit die Kurve c′ von A nach P und von P nach B aus zwei Großkreisb¨ oglich wird, wenn wir A durch einen einem Knick bei P , also mit c′′ = 0 bei P , was unm¨ benachbarten Punkt ersetzen) und folglich L 2 = dist(A, P ) + dist(P, B) > d(A, P ) + d(P, B) = π. 34 bewiesen. Dieser Satz gilt sogar allgemeiner f¨ ur geschlossene Kurven im IRn , und zwar mit derselben Gleichheitsdiskussion.

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Differentialgeometrie: Kurven - Flaechen - Mannigfaltigkeiten by Wolfgang Kühnel


by Anthony
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