By Walter Strampp, Victor Ganzha
ISBN-10: 3322908844
ISBN-13: 9783322908841
ISBN-10: 3528066180
ISBN-13: 9783528066185
Prof. Dr. Walter Strampp und Prof. Dr. Victor Ganzha lehren beide am Fachbereich Mathematik/Informatik der Universität-GH Kassel. Prof. Strampp forscht auf dem Gebiet der nichtlinearen integrablen Systeme, Prof. Ganzha beschäftigt sich mit symbolisch-numerischen Methoden.
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A) Falls ö(x,y) = 0, setze J: M( X ) -_ e 0 a(€,y) d€ • 48 2 Differentialgleichungen erster Ordnung (b) Falls ä(x,y)#O, A. bilde i. B. berechne _ ;yA(x,y) - IxB(x,y) ß(x, y) A(x, y) , - 8 ß(x, y) = 8x ß(x, y), ii. A. falls ß(x,y) = 0, setze B. falls ß(x,y) # 0, gibt es keinen Multiplikator der gesuchten Art. 6 Exakte Differentialgleichungen Der Block mul prüft, ob die Voraussetzung für einen von x alleine abhängigen Multiplikator erfüllt ist. Dies wird durch die Ausgabe alsi (x, y) =0 angezeigt.
Mathematica-Programm: sfd:=Block[{ak,g}, as[x_,y_] :=Integrate[a[xi,y],{xi,xO,x}]; al [y_] :=b[x,y]-D[as[x,y],y]; ak=Integrate[al[eta],{eta,yO,y}]; g=as[x,y]+ak; Simplify[g] ] Beispiel: e- X (2x - x 2 - y2)dx + e- X 2y dy = o. Die Funktionen A(x, y) = e- X (2x - x 2 - y2) und B(x, y) = e- X 2y verschwinden nur im Punkt (0, 0) gemeinsam, so daß die Gleichung in jedem einfach zusammenhängenden Gebiet betrachtet werden kann, das den Nullpunkt nicht enthält. In[l]:= a[x_,y_] : =Exp [-x] (2 x-x A 2-y A 2); b[x_,y_] :=Exp[-x] 2 y; In[3]:= sfd Out[3]= x A 2/E A x - xO A 2/E AxO + y A2/E Ax - yOA2/E AxO Also Algorithmus: zum Auffinden eines von der Variablen x oder y alleine abhängigen Muluplikators der Differentialform A(x, y)dx + B(x, y)dy = o.
4) bzw. 5) ist eindeutig. , Zum Nachweis der gleichmäßigen Konvergenz der Funktionenfolge k Yk(X) = Yo + L m=l (Ym(x) - Ym-l(X)) verwenden wir das Cauchy-Kriterium: Da die Reihe E~=o(Lp)m Im! konvergiert, ist die Behauptung bewiesen. 3) Die Annahme einer zweiten Lösung y(x) führt mit Iy(x) - y(x)1 ::; L 11x: Iy(t) - y(t)1 dtl auf die Abschätzung Iy(x) - y(x)1 < L( < max Ix-xol~p Iy(x) - Y(X)I) Ix - xol (max Iy(x) - Y(X)I) Lp. Ix- xol9 24 2 Differentialgleichungen erster Ordnung Mit vollständiger Induktion erhalten wir daraus für beliebiges m Iy(x) - y(x)1 ::; ( max Iy(x) - Y(X)I) (LPt .
Differentialgleichungen mit Mathematica by Walter Strampp, Victor Ganzha
by Edward
4.0
