Download PDF by Joël Benoist: Exercices de calcul intégral : Avec rappels de cours

By Joël Benoist

ISBN-10: 2100057413

ISBN-13: 9782100057412

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21 Raisonnons par l'absurde en supposant qu'il existe une rOlldinl1 continue f et un borélien négligeable N tels que f 110,IJ sur 1R \ N. :\(N) 0, ce qui est impossible; donc, [0,1] ct. N, ee qui revient à dire que [0,1] \ N est non vide. Or, d'après la relation fonction f est constante égale à 1 sur cet ensemble. Donc, la fonction f la valeur 1. De même, on montre que la fonction f prend aussi la valeur O. :\(A) > O. D'autre part, par la relation A C N et donc A est négligeable; cela contredit la remarque précédente.

18 Soit B(R2 ) la tribu de Borel sur R 2 , que l'on admettra être la tribu par les intervalles de la forme [a, b[ x [e, dl, avec a, b, e, dER. Le corollaire ;U"; montre l'existence sur (R2 , B(R2 )) d'une mesure 11, appelée mesure de 130[('\, vérifiant: (C2) I1(K) < +00, pour tout compact K de :R. 11 = = À. y, fA(Y) Les mesures de de dénombrement et de Borel sur :R sont-elles diffuses ? Sinon, préciser les atomes. (v) Etablir que l'ensemble des atomes d'une mesure a-finie est dénom­ brable. pour x assez grand.

L(Yr,) :::; Il,(Xn ) < +00. Il suffit donc de montrer que la. ramille {Yn : n E N} forme une partition de X. Soit x EX; d'aprèr-; la relation (12), l'ensemble {n EN: x E Xn} est non vide et donc admet lit 1 plus petit élément no. Si no = 0, x E Yo, et si no> 0, x E X no \ X no - I Y,,", d, pour tout n +00 u Dans tous les cas on a xE + Soit enfin (7i)iElN une suite croissante de montrons, par double inégalité, que v(T) = liT; et iElN ce qui entraîne: X UYr,. = n=O Considérons la suite (Xn)nEIN de parties mesurables défiIlin, iEIN v(T;) +00 n, Montrons maintenant que les parties Yn sont disjointes deux à deux; soient donc 11.

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by James
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