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Le champ de vecteurs le long de γX , transporté parallèle de Y|p , vérifie par définition i γ˙ X ∂Y k + Γkij Y j ∂xi =0 40 Chapitre 1 Variétés différentiables Si nous notons t → Y (t) ce champ de vecteurs le long de γX , alors Y k (t) = Y k (0) + t dY k (0) + . . dt avec i dY k dγX ∂Y k (0) = (p) (0) = −Γkij (p)Y|pj X|pi dt ∂xi dt compte-tenu de l’équation de la courbe autoparallèle. D’où la relation Y k (t) = Y k (0) − tΓkij (p)X|pi Y|pj + . . De même, le transporté parallèle X(u) de X|p le long de γY vérifie X k (u) = X k (0) − uΓkji (p)X|pi Y|pj + .

L’application transport parallèle le long d’une courbe devient une isométrie : g|γ(0) (X, Y ) = g|γ(h) (Jγ,h X, Jγ,h Y ) En particulier, dans le cas où γ est une géodésique, puisque le champ de vecteurs γ˙ est parallèle le long de γ, g|γ(t) (γ(t), ˙ γ(t)) ˙ est constant pour tout t. En d’autres termes, le vecteur tangent à γ a une longueur constante. Si cette longeur vaut 1, on dit que t est le paramètre canonique de la géodésique γ. Tenseur de courbure de Riemann La courbure de la connexion de Lévi-Civita pour une métrique g sur M est appelée courbure de Riemann et vérifie g(R(X, Y )Z, T ) = −g(Z, R(X, Y )T ) pour X, Y, Z, T champs de vecteurs sur M .

4. Groupes d’homotopie d’ordres supérieurs Revenons à la définition de π1 (M ).

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by Edward
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