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Fr ) mais que le rang de la matrice jacobienne associ´ee en x est n − dim X, alors X est lisse en x (attention : la r´eciproque n’est pas vraie). 4) Les points singuliers d’une hypersurface X dans Pn d’id´eal engendr´e par un polynˆ ome homog`ene F de degr´e d sont d´efinis par les ´equations F (x) = ∂F ∂F (x) = · · · = (x) = 0. ∂T0 ∂Tn En effet, si x = (1, x1 , . . , xn ) est dans X, on a I(X ∩ U0 ) = (F ) (exerc. 2)). Le point x est singulier sur X si et seulement s’il l’est sur X ∩ U0 , c’est-`a-dire si et ∂F seulement si ∂F ∂Ti (x) = ∂Ti (x) = 0 pour i = 1, .

Applications finies Nous nous int´eressons maintenant aux applications r´eguli`eres dont les fibres sont finies. Sous l’hypoth`ese que la vari´et´e de d´epart est projective, nous allons voir qu’elles ont une propri´et´e alg´ebrique. 28. Soient X et Y des vari´et´es et u : X → Y une application The r´eguli`ere. On suppose que X est projective et que toutes les fibres de u sont finies. Tout point de Y a un voisinage affine V tel que U = u−1 (V ) est encore affine et que le morphisme u∗ : A(V ) → A(U ) fasse de A(U ) un A(V )-module de type fini.

Soient A un anneau local noeth´erien, m son id´eal maximal et k = A/m son corps r´esiduel. Lorsque A est l’anneau local d’une vari´et´e alg´ebrique en un point, on a vu dimk m/m2 ≥ dim A. Cette in´egalit´e reste vraie en g´en´eral, et on dit que A est r´egulier s’il y a ´egalit´e. 3. LE THEOR EME PRINCIPAL DE ZARISKI 45 anneau local noeth´erien soit r´egulier, il faut et il suffit que son id´eal maximal puisse ˆetre engendr´e par dim A ´el´ements. En particulier, pour qu’un anneau local noeth´erien A de dimension 1 soit r´egulier, il faut et il suffit que son id´eal maximal soit principal ; cela entraˆıne que A est local et principal : c’est un anneau de valuation discr`ete.

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by Michael
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