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By Dirk J. Struik

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Zum Vn, indem man ... eine Ecke (En+0 und alle von dieser Ecke ausgehenden n Kanten 16scht. Man sagt: V. ist (echter) Untergraph des Vn+l 9 Ein Graph G' - ( E ' , ~ ' ) ist n:' _ H: Untergraph von G = 0:,~), wenn A In G' sind alle Ecken durch Kanten verbunden, die auch in G durch Kanten verbunden sind. Bei Teilgraphen muss die letzte Bedingung nicht erfiillt sein. 3 Eckenordnungen und Kantenzahlen 19 Beispiele flit Teilgraphen des Vs: Damit ist klar: Jeder Untergraph eines vollstandigen Graphen muss wieder ein vollst~indiger Graph sein.

Beim Beweis von Satz 9 sind wir von unserem Inselgraphen zu einem anderen Graphen fibergegangen, indem wir jeder Fl~iche des Inselgraphen eine Ecke des anderen Graphen zugeordnet haben und jeder F1/iche des anderen Graphen eine Ecke des Inselgraphen. 6 Erbteilungs- und F~irbungsprobleme 37 eine Kante des Inselgraphen. Man sagt dann, dass man von einem Graphen zu seinem dualen Graphen fibergeht. Dieses Dualitiitsprinzip wird in Beweisen im Rahmen der Graphentheorie h~iufig verwendet. Die beiden Graphen in Abbildung 17 sind allerdings nicht dual zueinander, da wir dem AuBeren der Insel, das ja auch eine F1/iche darstellt, keine Ecke zugeordnet haben.

Der Graph. Wir 16schen nun in G die Kanten eines der Kreise saint der dadurch eventuell entstehenden isolierten Ecken. "I ~ Der so entstandene Teilgraph ist die Vereinigung von n einfachen Kreisen und liisst sich nach Induktionsvoraussetzung mit zwei Farben zuliissig ftirben. Wir f~irben ihn also zul~issig. Wir fiigen nun den gel6schten Kreis wieder ein. Innerhalb und aul3erhalb dieses Kreises haben wit jeweils eine zul/issige F/irbung mit zwei Farben, insgesamt ist die F~bung aber nicht zul/issig.

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by Ronald
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